Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 9 cm, SH là chiều cao. Gọi M là trung điểm của BC (Hình 5). Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết H là trọng tâm của tam giác ABC, A

Trả lời

Lời giải

Ta có: \(AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}AB\) nên \(AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.9 = 3\sqrt 3 {\rm{\;}}\)(cm).

Suy ra \(SH = 2AH = 2.3\sqrt 3 = 6\sqrt 3 {\rm{\;}}\)(cm).

Do H là trọng tâm của tam giác ABC nên \(AH = \frac{2}{3}AM\).

Suy ra \(AM = \frac{3}{2}AH = \frac{3}{2}.3\sqrt 3 = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;}}\)(cm).

Xét DABM và ΔACM có:

AB = AC; AM là cạnh chung; MB = MC

Do đó ∆ABM = ΔACM (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \).

Do đó AM ⊥ BC.

Diện tích đáy của hình chóp tam giác đều đó là:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AM = \frac{1}{2}.9.\frac{{9\sqrt 3 }}{2} = \frac{{81\sqrt 3 }}{4}\) (cm²).

Thể tích của hình chóp tam giác đều đó là:

\(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{81\sqrt 3 }}{4}.6\sqrt 3 = \frac{{243}}{2}\) (cm³).