Gọi N là trung điểm SC, ta có MN // CD // AB

Do đó thiết diện là hình thang cân ABNM.

Kẻ $\text{MH}\perp \text{AB},\text{H}\in \text{AB}$. Do AB = CD và MN < CD nên H thuộc đoạn AB.

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến, ta có $\text{AM}=\sqrt{\frac{{\text{a}}^2+2{\text{a}}^2}{2}-\frac{2{\text{a}}^2}{4}}=\text{a}$

Mặt khác $\text{AH}=\frac{\text{AB}-\text{MN}}{2}=\frac{\text{a}-\frac{\text{a}}{2}}{2}=\frac{\text{a}}{4}$ nên $\text{MH}=\sqrt{{\text{AM}}^2-{\text{AH}}^2}=\frac{\text{a}\sqrt{15}}{4}$

Suy ra $S_{ABNM}=\frac{MH\cdot (MN+AB)}{2}=\frac{3\sqrt{15}{\text{a}}^2}{16}$