Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $SA=SB=SD=a,\widehat{BAD}={60}^{°}$. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng bao nhiêu độ?

Dễ thấy hình chóp S.ABD đều. Gọi g là trọng tâm của $\Delta \text{ABD}$. Khi đó $\text{SG}\perp \left(\text{ABCD}\right)$

Do $\Delta \text{ABD}$ đều nên $\text{GD}\perp \text{CD}\Rightarrow \text{CD}\perp \left(\text{SGD}\right)$

Kẻ $\text{GH}\perp \text{SD},(\text{H}\in \text{SD})$

Khi đó $\text{GH}\perp \left(\text{SCD}\right)\Rightarrow \text{d}(\text{G};(\text{SCD}\left)\right)=\text{GH}$

Ta có $\text{GD}=\frac{2}{3}.\frac{\text{a}\sqrt{3}}{2}=\frac{\text{a}\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \text{SG}=\sqrt{{\text{SD}}^2-{\text{GD}}^2}=\frac{\text{a}\sqrt{6}}{3}$

Xét $\Delta \text{SGD}$ vuông tại G có $\text{GH.SD}=\text{SG}.\text{GD}\Rightarrow \text{GH}=\frac{\text{a}\sqrt{2}}{3}$

Mà $d( \text{A};(\text{SCD}\left)\right)=\frac{\text{AC}}{\text{GC}}\cdot \text{d}(\text{G};(\text{SCD}\left)\right)=\frac{\text{a}\sqrt{2}}{2}$

Gọi K là hình chiếu của A lên (SCD). Khi đó góc giữa SA và mặt phẳng (SCD) là $\widehat{\text{ASK}}$