Cho hàm số $y=x^4-2m{x}^2+m$  có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Giá trị của tham số thực m để tiếp tuyến $∆$ của đồ thị (C) tại A cắt đường tròn $\left(\gamma \right):x^2+{\left(y-1\right)}^2=4$  tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất là

Hướng dẫn giải

Đường tròn $\left(\gamma \right):x^2+{\left(y-1\right)}^2=4$  có tâm $I\left(0;1\right),R=2$  .

Ta có $A\left(1;1-m\right);y^{\text{'}}=4x^3-4mx\Rightarrow y^{\text{'}}\left(1\right)=4-4m$ .

Suy ra phương trình tiếp tuyến $\Delta :y=\left(4-4m\right)\left(x-1\right)+1-m$ .

Dễ thấy $∆$  luôn đi qua điểm cố định $F\left(\frac{3}{4};0\right)$  và điểm F nằm trong đường tròn $\left(\gamma \right)$  .

Giả sử $∆$  cắt $\left(\gamma \right)$  tại M, N, Khi đó $MN=2\sqrt{R^2-d^2\left(I;\Delta \right)}=2\sqrt{4-d^2\left(I;\Delta \right)}$ .

Do đó MN nhỏ nhất $d\left(I;\Delta \right)$  lớn nhất $\iff d\left(I;\Delta \right)=IF\Rightarrow \Delta \perp IF$ .

Khi đó đường thẳng $∆$  có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{IF}=\left(\frac{3}{4};-1\right);\overrightarrow{u}=\left(1;4-4m\right)$  nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{IF}=0\iff 1.\frac{3}{4}-\left(4-4m\right)=0\iff m=\frac{13}{16}$ .

Chọn B.