Cho hàm số $y=x^3-3x^2-9x+1$  có đồ thị là (C). Số tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng $d:y=-x+1$  một góc $\alpha$  thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{41}}$  là

Hướng dẫn giải

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm.

Ta có $\cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{41}}\left(0°<\alpha <90°\right)\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1}=\frac{4}{5}$  .

Vì d có hệ số góc bằng –1 nên   $\tan \alpha =\left|\frac{k+1}{1-k}\right|=\frac{4}{5}\iff \left[\begin{array}{l}k=-9\\ k=-\frac{1}{9}\end{array}\right.$

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2-6x-9$ .

+ Trường hợp 1: $k=-9\iff x^2-2x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến  $y=-9x+1$và $y=-9x-3$  .

+ Trường hợp 2: $k=-\frac{1}{9}\iff 27x^2-54x-80=0\iff x=\frac{9\pm \sqrt{321}}{9}$

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là   $y=-\frac{1}{9}\left(x-\frac{9\pm \sqrt{321}}{9}\right)+y\left(x_0\right)$

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm.

Chọn D.