Cho hàm số $y=\frac{x-1}{2x-3}$ $\left(C\right)$. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số $\left(C\right)$. Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị $\left(C\right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là $I\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến d tại $M\in \left(C\right)$ bất kỳ với hai đường tiệm cận.

Khi đó ta có $IA.IB=\frac{4\left|ad-bc\right|}{c^2}=\frac{4\left|-3+2\right|}{4}=1$.

Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có $\frac{1}{I{H}^2}=\frac{1}{I{A}^2}+\frac{1}{I{B}^2}\ge \frac{2}{IA.IB}=2\Rightarrow IH\le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $I{H}_{\max }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Chọn A.