Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left(x^3+x\right)+3}$  là

Hướng dẫn giải

Đặt $t=x^3+x$ , ta có khi $x\to -\infty$  thì $t\to -\infty$  và khi $x\to +\infty$  thì $x\to +\infty$ .

Mặt khác ta có $t^{\text{'}}=3x^2+1>0,\forall x\in ℝ$  nên với mọi $t\in ℝ$  phương trình $x^3+x=t$  có duy nhất một nghiệm x.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình

      $f\left(t\right)+3=0\iff f\left(t\right)=-3$ .

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left(x^3+x\right)+3}$  có một tiệm cận đứng.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x^3+x\right)+3}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(t\right)+3}=0$ ; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x^3+x\right)+3}=\underset{t\to -\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(t\right)+3}=0$  nên đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left(x^3+x\right)+3}$  có một tiệm cận ngang là $y=0$ .

Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận

Chọn A.