Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  là hàm đa thức bậc 6 thỏa mãn $3f\left(1\right)-2<0$  và $3f\left(a\right)-a^3+3a>0,\forall a>2$ . Đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$  như hình vẽ.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left(x\right)=\frac{x+1}{3f\left(x+2\right)-x^3+3x}$  là

Đặt $h\left(x\right)=3f\left(x+2\right)-x^3+3x$  . Điều kiện $h\left(x\right)\ne 0$ .

Ta có $h^{\text{'}}\left(x\right)=3f^{\text{'}}\left(x+2\right)-3x^2+3$  , $h^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff f^{\text{'}}\left(x+2\right)=x^2-1$ .

Đặt $t=x+2$ , ta được $f^{\text{'}}\left(t\right)=t^2-4t+3$ . (*)

Vẽ đồ thị hàm số $y=t^2-4t+3$  vào cùng hệ trục có đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(t\right)$  ta được hình vẽ sau

Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có ba nghiệm là $t=1;t=3;t=a>4$ .

Suy ra phương trình $h^{\text{'}}\left(x\right)=0$  có nghiệm đơn $x=-1;x=1;x=a-2=b>2$ .

Ta có bảng biến thiên của $h\left(x\right)$  như sau

Vì  $h\left(-1\right)=3f\left(1\right)-2<0$ và $h\left(b\right)=3f\left(a\right)-{\left(a-2\right)}^3+3\left(a-2\right)=3f\left(a\right)-a^3+3a+6a^2-12a+2>0$  với mọi $a>4$  nên phương trình $h\left(x\right)=0$  có hai nghiệm phân biệt $x=x_1<-1;x=x_2\in \left(-1;1\right)$ .

Vậy đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)$  có hai tiệm cận đứng.

Chọn B.