Cho hàm số $y=\frac{2x}{x+2}$  có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{1}{18}$   là

Hướng dẫn giải

Gọi $M\left(a;\frac{2a}{a+2}\right)\left(a\ne -2\right)$  là tiếp điểm của tiếp tuyến. Khi đó phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là

$y=y^{\text{'}}\left(a\right)\left(x-a\right)+\frac{2a}{a+2}\iff y=\frac{4}{{\left(a+2\right)}^2}\left(x-a\right)+\frac{2a}{a+2}$.

Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của d với hai trục Ox, Oy.

Tọa độ các điểm A, B là $A\left(-\frac{a^2}{2};0\right),B\left(0;\frac{2a^2}{{\left(a+2\right)}^2}\right)$ .

Vậy $S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{a^4}{2{\left(a+2\right)}^2}=\frac{1}{18}\iff \left[\begin{array}{l}3a^2=a+2\\ 3a^2=-a-2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a=1\\ a=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Với $a=1\Rightarrow d_1:y=\frac{4}{9}\left(x-1\right)+\frac{2}{3}=\frac{4}{9}x+\frac{2}{9}$ .

Với $a=-\frac{2}{3}\Rightarrow d_2:y=\frac{9}{4}\left(x+\frac{2}{3}\right)-1=\frac{9}{4}x+\frac{1}{2}$

Chọn A.