Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-2}$ có đồ thị $\left(C\right)$. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của $\left(C\right)$. Biết tiếp tuyến $∆$ của $\left(C\right)$ tại M cắt các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, diện tích lớn nhất của tam giác tạo bởi $∆$ và hai trục tọa độ thuộc khoảng nào dưới đây?

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-3}{{\left(x-2\right)}^2}<0$.

Theo lý thuyết thì để diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì AB nhỏ nhất. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến $∆$ phải là $k=\pm 1$.

Do $y^{\text{'}}<0,\forall x$ nên $k=-1$.

Xét phương trình $y^{\text{'}}=k\Rightarrow \frac{-3}{{\left(x-2\right)}^2}=-1\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=2-\sqrt{3}\\ x=2+\sqrt{3}\end{array}\right.$.

- Với $x=2-\sqrt{3}\Rightarrow y=2-\sqrt{3}\Rightarrow$ Tiếp tuyến ${\Delta }_1:y=-\left(x-2+\sqrt{3}\right)+2-\sqrt{3}$

                                                        $\iff y=-x+4-2\sqrt{3}$.

Khi đó ${∆}_1$ cắt Ox, Oy tại hai điểm $M\left(4-2\sqrt{3};0\right),N\left(0;4-2\sqrt{3}\right)$ và $S_{OMN}=\frac{1}{2}{\left(4-2\sqrt{3}\right)}^2$.

- Với $x=2+\sqrt{3}\Rightarrow y=2+\sqrt{3}\Rightarrow$ tiếp tuyến ${\Delta }_1:y=-\left(x-2-\sqrt{3}\right)+2+\sqrt{3}$

                                                        $\iff y=-x+4+2\sqrt{3}$.

Khi đó ${\Delta }_1$ cắt Ox, Oy tại hai điểm  $P\left(4+2\sqrt{3};0\right),N\left(0;4+2\sqrt{3}\right)$ và $S_{OPQ}=\frac{1}{2}{\left(4+2\sqrt{3}\right)}^2\approx 27,85$.

Chọn C.