Cho hàm số $y=\frac{1-3x}{3-x}$  có đồ thị $\left(C\right)$  . Điểm M có hoành độ dương, nằm trên $\left(C\right)$  sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận  đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của $\left(C\right)$ . Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng của $\left(C\right)$  bằng

Hướng dẫn giải

Giả sử $M\left(x_0;\frac{3x_0-1}{x_0-3}\right)\in \left(C\right)\left(x_0>0;x_0\ne 3\right)$ .

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng ${\Delta }_1:x=3$ , tiệm cận ngang ${\Delta }_2:y=3$  và tâm đối xứng $I\left(3;3\right)$ .

Khi đó $d_1=d\left(M;{\Delta }_1\right)=\left|x_0-3\right|$  và $d_2=d\left(M;{\Delta }_2\right)=\frac{8}{\left|x_0-3\right|}$ .

Theo giả thiết $d_1=2d_2\iff \left|x_0-3\right|=\frac{16}{\left|x_0-3\right|}\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=7\\ x_0=-1\end{array}\right.\Rightarrow x_0=7$  (do $x_0>0$ ).

Vậy $M\left(7;5\right)\Rightarrow IM=2\sqrt{5}$ .

Chọn C.