Cho hàm số $y=\frac{1}{3}m{x}^3+\left(m-1\right)x^2+\left(4-3m\right)x+1$  có đồ thị là $\left(C_m\right)$ . Tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị  tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $d:x+2y-3=0$  là

Hướng dẫn giải

Ta có: $d:x+2y-3=0\iff y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$  nên hệ số góc của d là $-\frac{1}{2}$ .

Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k thì $k.\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\iff k=2.$

Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$  là tiếp điểm của tiếp tuyến với $\left(C_m\right)$  thì $x_0$  là nghiệm của phương trình $y^{\text{'}}=k\iff m{x}^2+2\left(m-1\right)x+4-3m=2$ .

$\iff m{x}^2+2\left(m-1\right)x+2-3m=0\left(*\right)$

Theo bài toán thì ta phải tìm m để (*) có duy nhất một nghiệm âm.

+ Trường hợp 1: Nếu $m=0$  thì (*) $\iff -2x=-2\iff x=1$  (loại).

+ Trường hợp 2: Nếu $m\ne 0$  . Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm là x=1  và $x=\frac{2-3m}{m}$ .

Do đó để (*) có một nghiệm âm thì $\frac{2-3m}{m}<0\iff m<0$  hoặc $m>\frac{2}{3}$ .

Chọn D.