Cho hàm số $y=\frac{x+b}{ax-2}\left(ab\ne -2,a\ne 0\right)$ . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A\left(1;-2\right)$  song song với đường thẳng $d:3x+y-4=0$ . Khi đó giá trị của $a-3b$  bằng

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-2-ab}{{\left(ax-2\right)}^2}\Rightarrow y^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{-2-ab}{{\left(a-2\right)}^2}$

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:3x+y-4=0\iff y=-3x+4$  nên $y^{\text{'}}\left(1\right)=-3\iff \frac{-2-ab}{{\left(a-2\right)}^2}=-3$ .

Mặt khác $A\left(1;-2\right)$  thuộc đồ thị hàm số nên $-2=\frac{1+b}{a-2}\iff b=-2a+3.$

Khi đó ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}\frac{-2-ab}{{\left(a-2\right)}^2}=-3\\ b=-2a+3\end{array}\right.\Rightarrow 5a^2-15a+10=0\iff \left[\begin{array}{l}a=2\\ a=1\end{array}\right.$

+ Với $a=2\Rightarrow b=-1\Rightarrow ab=-2$  (loại) 

+ Với $a=1\Rightarrow b=1$  ( thỏa mãn điều kiện).

Khi đó ta có hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$  . 

 $y^{\text{'}}=\frac{-3}{{\left(x-2\right)}^2}\Rightarrow y^{\text{'}}\left(1\right)=-3$ nên phương trình tiếp tuyến là $y=-3x+1$  song song với đường thẳng $y=-3x+4$  .

Vậy $a-3b=-2$ .

Chọn D.