Cho hàm số  $y=-x^3+6x^2+2$có đồ thị (C) và điểm $M\left(m;2\right)$ . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C). Tổng các phần tử của S bằng

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng đi qua $M\left(m;2\right)$  và có hệ số góc k.

Khi đó phương trình của d là $y=k\left(x-m\right)+2$ .

Để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua M thì hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}k=-3x^2+12x\\ -x^3+6x^2+2=k\left(x-m\right)+2\end{array}\right.$phải có hai nghiệm phân biệt.

Từ hệ trên, ta có $-x^3+6x^2+2=\left(-3x^2+12x\right)\left(x-m\right)+2$

$\iff x\left[2x^2-3\left(m+2\right)x+12m\right]=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 2x^2-3\left(m+2\right)x+12m=0\left(*\right)\end{array}\right.$

Để hệ có đúng hai nghiệm, ta xét các trường hợp sau

+ Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta =9{\left(m+2\right)}^2-96m=0\\ 12m\ne 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=6\\ m=\frac{2}{3}\end{array}\right.$.

+ Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta =9{\left(m+2\right)}^2-96m>0\\ 12m=0\end{array}\right.\iff m=0$

Vậy $S=\left\{6;\frac{2}{3};0\right\}$  nên tổng các phần tử bằng $\frac{20}{3}$

Chọn A.