Cho hàm số $y=x^3+3m{x}^2+\left(m+1\right)x+1$ , với m là tham số thực, có đồ thị (C). Biết rằng khi $m=m_0$  thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_0=-1$  đi qua $A\left(1;3\right)$  . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Gọi B là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua $A\left(1;3\right)$  khi $m=m_0$

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+6mx+m+1$ .

Với $x_0=-1$  thì $y_0=2m-1\Rightarrow B\left(-1;2m-1\right)$  và $y^{\text{'}}\left(-1\right)=-5m+4$ .

Tiếp tuyến tại B của (C) có phương trình là $y=\left(-5m+4\right)\left(x+1\right)+2m-1$ .

Do tiếp tuyến đi qua $A\left(1;3\right)$  nên $2\left(-5m+4\right)+2m-1=3\iff m=\frac{1}{2}$  .

Vậy $m_0=\frac{1}{2}\in \left(0;1\right)$ .

Chọn C.