Hướng dẫn giải

Ta có $y^{\text{'}}=-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2},x\ne 1;A\left(a;1\right).$

Đường thẳng d qua $A\left(a;1\right)$  có hệ số góc k có phương trình là $y=k\left(x-a\right)+1$ .

Để có duy nhất một đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{l}k\left(x-a\right)+1=\frac{-x+2}{x-1}\left(1\right)\\ k=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}\left(2\right)\end{array}\right.$

Thế (2) vào (1) ta có $\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}\left(x-a\right)+1=\frac{-x+2}{x-1}$

$\iff 2x^2-6x+a+3=0\left(x\ne 1\right)\left(3\right)$

Để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có nghiệm duy nhất khác 1.

+ Trường hợp 1: (3) có nghiệm kép khác 1

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}=9-2a-6=0\\ 2-6+a+3\ne 0\end{array}\right.\iff a=\frac{3}{2}$

+ Trường hợp 2: (3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1.

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}=3-2a>0\\ a-1=0\end{array}\right.\iff a=1$

Vậy $S=\left\{\frac{3}{2};1\right\}$   nên tổng các phần tử bằng $\frac{5}{2}$