Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$  có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc (C) và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. Đường thẳng AB cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N diện tích tam giác OMN bằng $\frac{1}{4}$ . Độ dài đoạn MN bằng

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}$ Gọi $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ .

Khi đó $y^{\text{'}}\left(x_1\right)=y^{\text{'}}\left(x_2\right)\iff {\left(x_1-1\right)}^2={\left(x_2-1\right)}^2\iff x_1+x_2=2$  .

Do đó tâm đối xứng $I\left(1;1\right)$  của (C) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Gọi hệ số góc của đường thẳng AB là k.

Phương trình đường thẳng AB là $y=k\left(x-1\right)+1$ .

Điều kiện để đường thẳng $d:y=k\left(x-1\right)+1$  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B là phương trình $\frac{x+2}{x-1}=k\left(x-1\right)+1\left(*\right)$  có hai nghiệm phân biệt$x\ne 1$

Ta có $\left(*\right)\iff k{x}^2-2kx+k-3=0$  có hai nghiệm phân biệt $\left(*\right)\iff k{x}^2-2kx+k-3=0$  khi và chỉ khi

 $\left\{\begin{array}{l}k\ne 0\\ k^2-k\left(k-3\right)>0\iff k>0\\ k-2k+k-3\ne 0\end{array}\right.$

Vì M, N là giao điểm của AB với Ox, Oy nên $M\left(\frac{k-1}{k};0\right),N\left(0;1-k\right)$  .

Suy ra $S_{\Delta OMN}=\frac{{\left(k-1\right)}^2}{2\left|k\right|}=\frac{1}{4}\iff 2{\left(k-1\right)}^2=\left|k\right|\iff \left[\begin{array}{l}k=2\\ k=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Ta có $M{N}^2={\left(k-1\right)}^2+\frac{{\left(k-1\right)}^2}{k^2}={\left(k-1\right)}^2\left(1+\frac{1}{k^2}\right)$

+ Với $k=2\Rightarrow MN=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

+ Với $k=\frac{1}{2}\Rightarrow MN=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Vậy trong cả hai trường hợp thì  $MN=\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Chọn B.