Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x+2}$  có đồ thị (C) và đường thẳng $d:y=-2x+m-1$  ( m là tham số thực). Gọi $k_1,k_2$  là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C). Tích $k_1,k_2$  bằng

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{-2\right\}$ .

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d)

$\frac{x+1}{x+2}=-2x+m-1$( với $x\ne -2$)

$\Rightarrow 2x^2+\left(6-m\right)x+3-2m=0\left(1\right)$

Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác –2.

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(6-m\right)}^2-8\left(3-2m\right)>0\\ 8-2\left(6-m\right)+3-2m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+4m+12>0\\ -1\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow \forall m\in ℝ$

Vậy (C) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1;y_1\right)$   và $B\left(x_2;y_2\right)$ , với $x_1,x_2$  là nghiệm của phương trình (1).

Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{m-6}{2}\\ x_1.x_2=\frac{3-2m}{2}\end{array}\right.$

Ta có $k_1.k_2=\frac{1}{{\left(x_1+2\right)}^2}.\frac{1}{{\left(x_2+2\right)}^2}=\frac{1}{{\left[x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)+4\right]}^2}$

$=\frac{1}{{\left[\frac{3-2m}{2}+2.\frac{m-6}{2}+4\right]}^2}=4$

Chọn A.