Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$  có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm nằm trên hai nhánh của (C) và các tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt tại các cặp M, N và P, Q. Diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng

Hướng dẫn giải

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Theo tính chất của tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất thì $IM.IN=IP.IQ=8$ .

Ta có $S_{MNPQ}=\frac{1}{2}MP.NQ=\frac{1}{2}\left(IM+IP\right)\left(IN+IQ\right)=\frac{1}{2}\left(IM.IN+IP.IQ+IM.IQ+IN.IP\right)$

$=\frac{1}{2}\left(8+8+IM.IQ+IN.IP\right)=8+\frac{1}{2}\left(\frac{64}{IN.IP}+IN.IP\right)\ge 8+\frac{1}{2}.2\sqrt{64}=16$.

Vậy $S_{\min }=16$  khi $\frac{64}{IN.IP}=IN.IP\Rightarrow IN.IP=8$  hay $IN=IQ=IM=IP=2\sqrt{2}$  tức là MNPQ là hình vuông.

Chọn A.