Cho hàm số $y=\frac{x+1}{2x-1}$  có đồ thị (H). Gọi $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$  là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-3}{{\left(2x-1\right)}^2}$  . Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau nên

$y^{\text{'}}\left(x_1\right)=y^{\text{'}}\left(x_2\right)\iff \frac{-3}{{\left(2x_1-1\right)}^2}=\frac{-3}{{\left(2x_2-1\right)}^2}\iff \left[\begin{array}{l}{x}_1=x_2\\ x_1+x_2=1\end{array}\right.$

Vì $x_1\ne x_2$  nên $x_1+x_2=1$ .

Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử $x_1=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2},a>0$  thì $A\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2};\frac{a+3}{2a}\right),B\left(-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2};\frac{a-3}{2a}\right)$ .

Gọi $I\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$  là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Ta thấy $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1=2x_I\\ y_1+y_2=1=2y_I\end{array}\right.$  nên I là trung điểm của AB.

Ta có $\overrightarrow{IA}=\left(\frac{a}{2};\frac{3}{2a}\right)\Rightarrow IA=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{9}{4a^2}}\ge \sqrt{2\sqrt{\frac{a^2}{4}.\frac{9}{4a^2}}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$

Vì I là trung điểm của AB nên $AB=2IA\ge 2\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}$ .

Vậy $A{B}_{\min }=\sqrt{6}$   khi $\frac{a^2}{4}=\frac{9}{4a^2}\Rightarrow a^2=3\Rightarrow a=\sqrt{3}$

Chọn C.