Cho hàm số $y=\frac{x+1}{2x-1}$ có đồ thị (H). Gọi $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$  là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A , B có cùng hệ số góc k . Biết diện tích tam giác OAB bằng $\frac{1}{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=-\frac{3}{{\left(2x-1\right)}^2}$

Tiếp tuyến tại A, B của (H) có cùng hệ số góc k nên $x_1,x_2$  là hai nghiệm phân biệt của phương trình $-\frac{3}{{\left(2x-1\right)}^2}=k\Rightarrow k<0$ .

Suy ra $4k{x}^2-4kx+k+3=0\left(*\right)$  nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1\\ x_1.x_2=\frac{k+3}{4k}\end{array}\right.$

Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử $x_1=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2},a>0$  thì $A\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2};\frac{a+3}{2a}\right),B\left(-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2};\frac{a-3}{2a}\right)$ .

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC nếu có $\overrightarrow{AB}=\left(a;b\right),\overrightarrow{AC}=\left(c;d\right)$  thì $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|ad-bc\right|$ .

Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2};\frac{a+3}{2a}\right),\overrightarrow{OB}=\left(-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2};\frac{a-3}{2a}\right)$

$\Rightarrow S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}\left|\left(\frac{a+1}{2}\right)\frac{a-3}{2a}-\left(\frac{-a+1}{2}\right).\frac{a+3}{2a}\right|=\frac{1}{4}\left|\frac{a^2-3}{a}\right|=\frac{1}{2}$

$\iff \left|\frac{a^2-3}{a}\right|=2\iff \left[\begin{array}{l}{a}^2-2a-3=0\\ a^2+2a-3=0\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a=3\\ a=1\end{array}\right.$

 ( vì a > 0).

+ Với $a=3\Rightarrow x_1=2;x_2=-1\Rightarrow k=-\frac{1}{3}.$

+ Với $a=1\Rightarrow x_1=1;x_2=0\Rightarrow k=-3.$

Vậy giá trị của k là $k=-3;k=-\frac{1}{3}$ .

Chọn D.