Hướng dẫn giải

Điều kiện $m-2\ne 2\iff m\ne 0$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $\Delta :x=-2$ và tiệm cận ngang ${\Delta }^{\text{'}}:y=1$.

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}\Rightarrow y^{\text{'}}\left(m-2\right)=\frac{3}{m^2}$ và $y\left(m-2\right)=\frac{m-3}{m}$.

Phương trình đường thẳng d là $y=\frac{3}{m^2}\left(x-m+2\right)+\frac{m-3}{m}$.

$A=d\cap \Delta \Rightarrow A\left(-2;\frac{m-6}{m}\right)$; $B=d\cap {\Delta }^{\text{'}}\Rightarrow B\left(2m-2;1\right)$

Do đó $x_2+y_1=-5\iff 2m-2+\frac{m-6}{m}=-5\iff 2m^2+4m-6=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-3\end{array}\right.$.

Vậy $S={\left(-3\right)}^2+1^2=10$.

Chọn D.