Hướng dẫn giải

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là $x=-2$  và $y=1$ .

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2},y^{\text{'}}\left(m-2\right)=\frac{3}{m^2}$ .

Gọi $M\left(m-2;\frac{m-3}{m}\right)\in \left(C\right),m\ne 0$ , tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là $y=\frac{3}{m^2}\left(x-m+2\right)+\frac{m-3}{m}$  .

Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là $A\left(-2;\frac{m-6}{m}\right)$  và tiệm cận ngang là $B\left(2m-2;1\right)$  .

Theo giả thiết ta có $\frac{m-6}{m}+2m-2=-5\iff 2m^2+4m-6\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-3\end{array}\right.$ .

Vậy $m_1+m_2=-2$ .

Chọn B.