$\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)={(x-1)}^{2 }\left(x2-3x\right)=x(x-3){(x-1)}^2\\ g^{\text{'}}\left(x\right)=(2x-10)f^{\text{'}}\left(x^2-10x+m^2\right)=2(x-5)\left(x^2-10x+m^2\right)\left(x^2-10x+m^2-3\right){\left(x^2-10x+m-1\right)}^2\end{array}$

Suy ra để g(x) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi mối phương trình $x^2-10x+m^2=0$ và $x^2-10x+m^2-3=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 5

$\iff \left\{\begin{array}{l}25-m^2>0\\ 25-(m^2-3)>0\\ 5^2-10.5+m^2\ne 0\\ 5^2-10.5+m^2-3\ne 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}-5<m<5\\ -2\sqrt{7}<m<2\sqrt{7}\\ m\ne \pm 5\\ m\ne \pm 2\sqrt{7}\end{array}\iff -5<m<5.\right.\right.$

Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn.