Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn ${\left[f\left(x\right)\right]}^3+6f\left(x\right)=-3x+10$  với mọi $x\in ℝ$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$   tại điểm có hoành độ $x=1$   là

Hướng dẫn giải

Ta cần tính $f\left(1\right),f^{\text{'}}\left(1\right)$ .

Thay x=1 vào đẳng thức ${\left[f\left(x\right)\right]}^3+6f\left(x\right)=-3x+10$, ta có 

${\left[f\left(1\right)\right]}^3+6f\left(1\right)=-3+10\iff {\left[f\left(1\right)\right]}^3+6f\left(1\right)-7=0\iff f\left(1\right)=1.$

Theo bài ra ta có ${\left[f\left(x\right)\right]}^3+6f\left(x\right)=-3x+10$   đúng với mọi x nên đạo hàm hai vế ta được $3.{\left[f\left(x\right)\right]}^2.f^{\text{'}}\left(x\right)+6f^{\text{'}}\left(x\right)=-3,\forall x\in ℝ$ .

Thay x=1 vào ta có $3{\left[f\left(1\right)\right]}^2.f^{\text{'}}\left(1\right)+6f^{\text{'}}\left(1\right)=-3$ .

Vì $f\left(1\right)=1$  nên $f^{\text{'}}\left(1\right)=-\frac{1}{3}$ .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$ .

Chọn D.