Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn $2f\left(2x\right)+f\left(1-2x\right)=12x^2,\forall x\in ℝ$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  tại điểm có hoành độ bằng 1 là

Hướng dẫn giải

Ta cần tính $f\left(1\right),f^{\text{'}}\left(1\right)$ .

Từ giả thiết $2f\left(2x\right)+f\left(1-2x\right)=12x^2,\forall x\in ℝ$ . (*)

Chọn $x=0$  và $x=\frac{1}{2}$ , ta được $\left\{\begin{array}{l}2f\left(0\right)+f\left(1\right)=0\\ 2f\left(1\right)+f\left(0\right)=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=-1\\ f\left(1\right)=2\end{array}\right.$ .

Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được $4.f^{\text{'}}\left(2x\right)-2.f^{\text{'}}\left(1-2x\right)=24x,\forall x\in ℝ$

Chọn x=0 và $x=\frac{1}{2}$ , ta được $\left\{\begin{array}{l}4f^{\text{'}}\left(0\right)-2f^{\text{'}}\left(1\right)=0\\ 4f^{\text{'}}\left(1\right)-2f^{\text{'}}\left(0\right)=12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(0\right)=2\\ f^{\text{'}}\left(1\right)=4\end{array}\right.$ .

Vậy $f\left(1\right)=2;f^{\text{'}}\left(1\right)=4$   nên phương trình tiếp tuyến là $y=4\left(x-1\right)+2=4x-2$ .

Chọn D.