Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đạo hàm liên tục trên R. Gọi  ${\Delta }_1,{\Delta }_2$lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  và $y=g\left(x\right)=x^2.f\left(4x-3\right)$  tại điểm có hoành độ $x=1$ . Biết hai đường thẳng ${\Delta }_1,{\Delta }_2$  vuông góc nhau và ${\Delta }_1$  không song song với Ox, Oy . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x^2.f\left(4x-3\right)\right)}^{\text{'}}=2x.f\left(4x-3\right)+4x^2.f^{\text{'}}\left(4x-3\right)$ .

Ta có hệ số góc của các tiếp tuyến ${\Delta }_1,{\Delta }_2$  lần lượt là $f^{\text{'}}\left(1\right)$ và $g^{\text{'}}\left(1\right)=2f\left(1\right)+4f^{\text{'}}\left(1\right)$ .

Theo giả thiết thì $f^{\text{'}}\left(1\right).g^{\text{'}}\left(1\right)=-1$  và $f^{\text{'}}\left(1\right)\ne 0$

$\iff f^{\text{'}}\left(1\right).\left(2f\left(1\right)+4f^{\text{'}}\left(1\right)\right)=-1$ .

$\iff 2f\left(1\right)=-\frac{1}{f^{\text{'}}\left(1\right)}-4f^{\text{'}}\left(1\right)\Rightarrow 2\left|f\left(1\right)\right|=\frac{1}{\left|f^{\text{'}}\left(1\right)\right|}+4\left|f^{\text{'}}\left(1\right)\right|\ge 4\iff \left|f\left(1\right)\right|\ge 2$.

Chọn C.