Cho hàm số $y=\frac{2x+2}{x-1}$ có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất là

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)\in \left(C\right)$  với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Khi đó $\Delta IAB$  vuông tại I.

Theo lý thuyết, chu vi $\Delta IAB$  là $IA+IB+AB\ge 2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2IA.IB}=8+4\sqrt{2}$  vì $IA.IB=\frac{4\left|ad-bc\right|}{c^2}=16$

Do đó chu vi nhỏ nhất bằng $8+4\sqrt{2}$  khi $IA=IB\Rightarrow k=\pm 1$ .

Mặt khác $k=y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-\frac{4}{{\left(x_0-1\right)}^2}<0\Rightarrow k=-1$ .

Vậy ta có $-\frac{4}{{\left(x_0-1\right)}^2}=-1\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=3\\ x_0=-1\end{array}\right.$

Với $x_0=3$  thì $y_0=4$ . Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=-\left(x-3\right)+4=-x+7$

Với  $x_0=-1$thì $y_0=0$ . Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=-\left(x+1\right)=-x-1$

Chọn B.