Cho hàm số $y=\frac{2x+2}{x-1}$  có đồ thị (C). Một tiếp tuyến bất kỳ với (C) cắt đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại A và B, biết $I\left(1;2\right)$ . Giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB bằng

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)\in \left(C\right)$  với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận và $\Delta IAB$  vuông tại I.

Theo lý thuyết, ta có $IA.IB=\frac{4\left|ad-bc\right|}{c^2}=16\Rightarrow S_{\Delta IAB}=8$ .

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta IAB$  lớn nhất xảy ra khi

$IA=IB=4\Rightarrow AB=4\sqrt{2}\Rightarrow p=\frac{IA+IB+AB}{2}=4+2\sqrt{2}$

$\Rightarrow r_{\max }=\frac{8}{4+2\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}$

Chọn C.