Cho hàm số $y=\frac{2x-3}{x-2}$  có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc $\widehat{ABI}$  bằng $\frac{4}{\sqrt{17}}$  với $I\left(2;2\right)$  là

Hướng dẫn giải:

Ta có $\left|k\right|=\tan \widehat{ABI}=\sqrt{\frac{1}{{\cos }^2\widehat{ABI}}-1}=\frac{1}{4}\Rightarrow k=\pm \frac{1}{4}$

Giả sử $M\left(x_0;y_0\right)\in \left(C\right)$  thì $k=y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\frac{-1}{{\left(x_0-2\right)}^2}<0\Rightarrow k=-\frac{1}{4}.$

Xét phương trình $\frac{-1}{{\left(x_0-2\right)}^2}=-\frac{1}{4}\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=0\\ x_0=4\end{array}\right.$

+ Với $x_0=0$  thì $y_0=\frac{3}{2}$  . Phương trình tiếp tuyến là $y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$ .

+ Với $x_0=4$  thì $y_0=\frac{5}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là $y=-\frac{1}{4}\left(x-4\right)+\frac{5}{2}=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}$

Chọn D.