Hướng dẫn giải

Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà $OA=4OB$  .

Khi đó $\Delta OAB$  vuông tại O và ta có $\left|k\right|=\tan \widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{4}\iff k=\pm \frac{1}{4}$

Ta có: $y^{\text{'}}=-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Xét phương trình $-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{1}{4}$  (vô nghiệm).

Xét phương trình $-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}=-\frac{1}{4}\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-1\end{array}\right.$

+ Với x=3 thì $y=\frac{5}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là

$y=-\frac{1}{4}\left(x-3\right)+\frac{5}{2}=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}$.

+ Với x=-1  thì $y=\frac{3}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là

$y=-\frac{1}{4}\left(x+1\right)+\frac{3}{2}=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$

Chọn C.