Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$  có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm $M\left(a;b\right)\in \left(C\right),a>0$  tạo với hai tiệm cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\sqrt{2}$ . Giá trị của $a+2b$  bằng

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do $\Delta IAB$  vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta IAB$  là $R=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}\iff AB=2\sqrt{2}$ .

Theo lý thuyết, ta có $IA.IB=4,AB=\sqrt{I{A}^2+I{B}^2}\ge \sqrt{2IA.IB}=2\sqrt{2}$ .

Dấu " = " xảy ra khi $IA=IB$ . Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến $k=\pm 1$ .

Mặt khác $k=y^{\text{'}}\left(a\right)=-\frac{1}{{\left(a-1\right)}^2}<0\Rightarrow k=-1$ .

Ta có $-\frac{1}{{\left(a-1\right)}^2}=-1\iff \left[\begin{array}{l}a=0\\ a=2\end{array}\right.$  . Do $a>0\Rightarrow a=2\Rightarrow b=3.$  Vậy $a+2b=8.$

Chọn C.