Cho hàm số y = 2m + 1 x - 6/ x+ 1 có đồ thị (Cm) và đường thẳng denta y = x - 1. Giả sử denta cắt cm  tại hai điểm phân biệt A, B.

A. (1;2)

B. (2;3)

C. (-4;-3)

D. (3;4)

Trả lời

Ta có phương trình hoành độ: $\frac{(2m+1)x-6}{x+1}=x-1\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-(2m+1)x+5=0\left(1\right)\\ x\ne -1\end{array}\right.$ 

Để $\left(C_m\right)$ và $\Delta$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt <=> phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ khác . $-1\iff \left\{\begin{array}{l}{(2m+1)}^2-20>0\\ 2m+7\ne 0\end{array}\right.\iff m\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}-\sqrt{5}\right)\cup \left(-\frac{1}{2}+\sqrt{5};+\infty \right)\backslash \left\{-\frac{7}{2}\right\}$ (*)

Khi đó $\text{A}\left({\text{x}}_1;{\text{x}}_1-1\right),\text{B}\left({\text{x}}_2;{\text{x}}_2-1\right)\Rightarrow \text{M}\left(\frac{{\text{x}}_1+{\text{x}}_2}{2};\frac{{\text{x}}_1+{\text{x}}_2-2}{2}\right)$.

Theo Vi-ét thì ${\text{x}}_1+{\text{x}}_2=2 \text{m}+1$ suy ra $\text{M}\left(\frac{2 \text{m}+1}{2};\frac{2 \text{m}-1}{2}\right)$.

Gọi N(x;y), tam giác OMN vuông cân tại $O\iff \left\{\begin{array}{l}\text{N}\in \left(\text{C}\right)\\ \overrightarrow{\text{OM}}\cdot \overrightarrow{\text{ON}}=0\\ \text{OM}=\text{ON}\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}{\text{Q}}_{\left(\text{o};\frac{\text{π}}{\text{2}}\right)}\left(\text{M}\right)=\text{N}\\ {\text{Q}}_{\left(0;-\frac{\text{π}}{\text{2}}\right)}\left(\text{M}\right)=\text{N}\end{array}\right.\right.$.

Trường hơp 1: $Q_{\left(0\text{;}\frac{\text{π}}{\text{2}}\right)}\left(M\right)=N\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_N=-\frac{2m-1}{2}\\ y_N=\frac{2m+1}{2}\end{array}\right.$, thay vào phương trình của (C) ta được

${\left(2-\frac{2m-1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{2m+1}{2}-3\right)}^2=2\iff {(2m-5)}^2=4\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{7}{2}\\ m=\frac{3}{2}\end{array}.\right.$

Trường hơp 2: ${\text{Q}}_{\left(\text{o};-\frac{\text{π}}{\text{2}}\right)}\left(\text{M}\right)=\text{N}\iff \left\{\begin{array}{l}{\text{x}}_{\text{N}}=\frac{2 \text{m}-1}{2}\\ {\text{y}}_{\text{N}}=-\frac{2 \text{m}+1}{2}\end{array}\right.$, thay vào phương trình của (C) ta được

${\left(\frac{2m-1}{2}+2\right)}^2+{\left(\frac{2m+1}{2}+3\right)}^2=2\iff 8m^2+40m+50=0\iff m=-\frac{5}{2}.$

Đối chiếu điều kiện (*) thấy $\text{m}=\frac{7}{2}$ thỏa mãn.