Cho hàm số $y=\frac{1}{8}{x}^4-\frac{7}{4}{x}^2$  có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt $M\left(x_1;y_1\right);N\left(x_2;y_2\right)$  ( M, N khác A ) thỏa mãn $y_1-y_2=3\left(x_1-x_2\right)$

Hướng dẫn giải

Do tiếp tuyến đi qua hai điểm $M\left(x_1;y_1\right);N\left(x_2;y_2\right)$  nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=3$ .

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{7}{2}x$  .

Xét phương trình $\frac{1}{2}{x}^3-\frac{7}{2}x=3\iff x=3;x=-1;x=-2.$

Mặt khác để tiếp tuyến của hàm số trùng phương cắt được đồ thị tại hai điểm phân biệt thì tiếp điểm A chỉ có thể chạy trong phần đồ thị từ điểm cực tiểu thứ nhất sang điểm cực tiểu thứ hai (trừ hai điểm uốn).

Khi đó phương trình $y^{\text{'}}=0\iff x^3-7x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{7}\end{array}\right.$

Do đó hai điểm cực tiểu là $x=-\sqrt{7}$  và $x=\sqrt{7}$  nên hoành độ của tiếp điểm $x_0\in \left(-\sqrt{7};\sqrt{7}\right)$

Vậy chỉ có $x_0=-1;x_0=-2$  thỏa mãn.

Chọn B.