Cho hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^4-x^3-6x^2+7$  có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng $d:y=mx$ ?

Hướng dẫn giải

Giả sử $M\left(a;b\right)$  là tiếp điểm. Ta có $y^{\text{'}}=2x^3-3x^2-12x$ .

Tiếp tuyến của (C) tại M song song hoặc trùng với đường thẳng $d:y=mx$  nên a là nghiệm của phương trình $2x^3-3x^2-12x=m\left(*\right)$  .

Để có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng d thì phương trình (*) có ít nhất hai nghiệm.

Xét $f\left(x\right)=2x^3-3x^2-12x$  có $y^{\text{'}}=6x^2-6x-12;y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}\right.$  .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, để phương trình (*) có ít nhất hai nghiệm thì $-20\le m\le 7$ .

Mà $m\in \mathbb{Z}$   nên $m\in \left\{-20,-19,\mathrm{...},6,7\right\}$

Vậy có 28 giá trị m thỏa mãn.

Chọn B.