Cho hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2-\frac{3}{2}$  có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm $A\left(0;\frac{3}{2}\right)$ ?

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng $∆$   đi qua điểm $A\left(0;\frac{3}{2}\right)$  và có hệ số góc k có dạng $y=kx+\frac{3}{2}$ .

Để $∆$  tiếp xúc với (C) thì hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}=kx+\frac{3}{2}\left(1\right)\\ 2x^3-6x=k\left(2\right)\end{array}\right.$  có nghiệm x.

Thế (2) vào (1), ta có $\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}=\left(2x^3-6x\right)x+\frac{3}{2}$

$\iff x^2\left(x^2-2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}\right.$.

+ Với $x=0\Rightarrow k=0\Rightarrow {\Delta }_1:y=\frac{3}{2}.$

+ Với $x=\sqrt{2}\Rightarrow k=-2\sqrt{2}\Rightarrow {\Delta }_2:y=-2\sqrt{2}x+\frac{3}{2}.$

+ Với $x=-\sqrt{2}\Rightarrow k=2\sqrt{2}\Rightarrow {\Delta }_3:y=2\sqrt{2}x+\frac{3}{2}.$

Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn.

Chọn C.