Cho hàm số $g\left(x\right)=\frac{2020}{h\left(x\right)-m^2-m}$  với $h\left(x\right)=m{x}^4+n{x}^3+p{x}^2+qx$ .$\left(m,n,p,q\in ℝ,m\ne 0\right)$ , $h\left(0\right)=0$ . Hàm số $y=h^{\text{'}}\left(x\right)$  có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị suy ra $h^{\text{'}}\left(x\right)=m\left(x+1\right)\left(4x-5\right)\left(x-3\right)=m\left(4x^3-13x^2-2x+15\right)$  và $m<0$  nên $h\left(x\right)=m\left(x^4-\frac{13}{3}{x}^3-x^2+15x\right)$  do $h\left(0\right)=0$ 

Đồ thị $g\left(x\right)$  có hai đường tiệm cận đứng $\Rightarrow$  phương trình $h\left(x\right)=m^2+m$  có hai nghiệm phân biệt $\iff x^4-\frac{13}{3}{x}^3-x^2+15x=m+1$  có hai nghiệm phân biệt.

Đặt $f\left(x\right)=x^4-\frac{13}{3}{x}^3-x^2+15x$ .

Ta có bảng biến thiên của $f\left(x\right)$  như sau

Vì $m<0$  nên $m+1\in \left(\frac{-32}{3};1\right)\iff m\in \left(\frac{-35}{3};0\right)$ .

Vậy có 11 số nguyên m.

Chọn B.