Cho hàm số $f\left(x\right)$  liên tục trên R và $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ ; $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc $\left[-2020;2020\right]$  để đồ thị hàm số $g\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+3x}+x}{\sqrt{2f\left(x\right)-f^2\left(x\right)}+m}$  có tiệm cận ngang nằm bên dưới đường thẳng $y=-1$  .

Hướng dẫn giải

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x\le -3;x\ge 0\\ 0\le f\left(x\right)\le 2\\ \sqrt{2f\left(x\right)-f^2\left(x\right)}+m\ne 0\end{array}\right.$

Do $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$  nên khi $x\to +\infty$  thì $2f\left(x\right)-f^2\left(x\right)\to -\infty$  vì vậy $\sqrt{2f\left(x\right)-f^2\left(x\right)}$  không có nghĩa khi x đủ lớn . Do đó không tồn tại $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$ .

Xét $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)$ .

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$  nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{2f\left(x\right)-f^2\left(x\right)}=\sqrt{\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[2f\left(x\right)-f^2\left(x\right)\right]}=1$ ;

           $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+3x}+x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{-\left(\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1\right)}=-\frac{3}{2}$                  

Từ đó $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=\frac{-3}{2m+2}$  với $m\ne -1$ .

Khi đó đồ thị hàm số $g\left(x\right)$  có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=\frac{-3}{2m+2}$ .

Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng  $y=-1$ thì $\frac{-3}{2m+2}<-1\iff -1<m<\frac{1}{2}$

    $\frac{-3}{2m+2}<-1\iff -1<m<\frac{1}{2}$     

Vì $m\in \mathbb{Z}$  nên m=0.

Chọn C.