Cho hàm số $\text{f}\left(\text{x}\right)=\frac{\left|{\text{x}}^4+\text{mx}+\text{m}\right|}{\text{x}+1}$ (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho ${\max }_{[0;1]}f\left(x\right)-3{\min }_{[0;1]}f\left(x\right)=\frac{3}{10}$. Tổng các phần tử của S bằng

Do xét trên đoạn [0;1] nên hàm số $f\left(x\right)=\frac{\left|x^4+mx+m\right|}{x+1}=\left|\frac{x^4+mx+m}{x+1}\right|$

Xét hàm số $\text{y}=\frac{{\text{x}}^4+\text{mx}+\text{m}}{\text{x}+1}$ trên đoạn $[0;1],{\text{y}}^{\text{'}}=\frac{3{\text{x}}^4+4{\text{x}}^3}{{(\text{x}+1)}^2}>0\forall \text{x}\in [0;1]$

$y\left(0\right)=m;y\left(1\right)=m+\frac{1}{2}$

Trường hợp 1: Nếu $\text{m}\ge 0\Rightarrow {\max }_{[0;1]}\text{f}\left(\text{x}\right)=\text{m}+\frac{1}{2};{\min }_{[0;1]}\text{f}\left(\text{x}\right)=\text{m}$

${\max }_{[0;1]}f\left(x\right)-3{\min }_{[0;1]}f\left(x\right)=\frac{3}{10}\iff \frac{2 \text{m}+1}{2}-3 \text{m}=\frac{3}{10}\iff \text{m}=\frac{1}{10}$

Trường hợp 2: Nếu $\text{m}\le -\frac{1}{2}\Rightarrow {\max }_{[0;1]}\text{f}\left(\text{x}\right)=-\text{m};{\min }_{[0;1]}\text{f}\left(\text{x}\right)=\text{m}+\frac{1}{2}$

${\max }_{[0;1]}f\left(x\right)-3{\min }_{[0;1]}f\left(x\right)=\frac{3}{10}\iff -m+3\frac{2m+1}{2}=\frac{3}{10}\iff m=-\frac{3}{5}$ Không thỏa mãn.

Trường hợp 3: Nếu $-\frac{1}{2}<\text{m}<0\Rightarrow {\max }_{[0;1]}\text{f}\left(\text{x}\right)=\left\{-\text{m};\frac{2 \text{m}+1}{2}\right\},{\mathrm{minf}}_{[0;1]}\text{f}\left(\text{x}\right)=0$

Ta có $\left[\begin{array}{l}-\text{m}=\frac{3}{10}\\ \frac{2 \text{m}+1}{2}=\frac{3}{10}\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}\text{m}=-\frac{3}{10}\\ \text{m}=-\frac{1}{5}\end{array}\right.\right.$. Do đó $\text{S}=\left\{\frac{1}{10};-\frac{3}{10};-\frac{3}{5};-\frac{1}{5}\right\}$