Cho hàm số f(x) thóa mãn 4fx + 5f1/x + 9x = 0 với mọi x khác 0. Biết giới hạn x tới 2 căn xfx + 14 - 5/ x2 - x - 2 = a/b với a/b là phân số tối giản. Tính a + b

Trả lời

Từ đề bài ta thay x thành $\frac{1}{x}$ ta được hệ $\left\{\begin{array}{l}4f\left(x\right)+5f\left(\frac{1}{x}\right)+9x=0\\ 5f\left(x\right)+4f\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{9}{x}=0\end{array}\right.$

Lấy 5.(2)-4.(1) ta được $9\text{f}\left(\text{x}\right)+\frac{45}{\text{x}}-36\text{x}=0\iff \text{f}\left(\text{x}\right)=4\text{x}-\frac{5}{\text{x}}$

Khi đó $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{xf\left(x\right)+14}-5}{x^2-x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+9}-5}{x^2-x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-2)\left(\sqrt{4x^2+9}+5\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4(x+2)}{(x+1)\left(\sqrt{4x^2+9}+5\right)}=\frac{8}{15}$

Vậy $a=8,b=15\Rightarrow a+b=23$