Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1;1] và $f\left(x\right)\ne 0$ với mọi $x\in \left[-1;1\right]$. Đặt $g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{f\left(x\right)f\left(-x\right)}$, với mọi $x\in \left[-1;1\right]$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\underset{-1}{\overset{1}{}}g\left(x\right)dx=-2\underset{0}{\overset{1}{}}g\left(x\right)dx$

Đáp án C

Ta có $g\left(-x\right)=\frac{f\left(-x\right)+f\left(x\right)}{f\left(-x\right)f\left(x\right)}=g\left(x\right)\Rightarrow g\left(x\right)-g\left(-x\right)=0$.

Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx$. Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=-1\Rightarrow t=1\\ x=0\Rightarrow t=0\end{array}\right.$.

Ta có: $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}g\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=-\underset{1}{\overset{0}{\int }}g\left(-t\right)dt+\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx$