Hướng dẫn giải

Ta có hàm số $y=\sqrt{x^2-2x+3}$  xác định trên R, $y^{\text{'}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+3}}$ .

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng $∆$  đi qua $A\left(1;a\right)$ .

Phương trình đường thẳng $\Delta :y=k\left(x-1\right)+a$ .

Đường thẳng $∆$   tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm

Thay (2) vào (1) ta được $\sqrt{x^2-2x+3}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+3}}\left(x-1\right)+a$

$\iff x^2-2x+3={\left(x-1\right)}^2+a\sqrt{x^2-2x+3}\iff a\sqrt{x^2-2x+3}=2$.

$\iff a=\frac{2}{\sqrt{x^2-2x+3}}\left(3\right)$

Qua A có đúng hai tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x^2-2x+3}}$ .

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-2\left(x-1\right)}{\left(x^2-2x-3\right)\sqrt{x^2-2x+3}};f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=1$ .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có (3) có hai nghiệm phân biệt thì $a\in \left(0;\sqrt{2}\right].$  Mà a nguyên nên $a=1$ .

Chọn C.