Cho hàm số bậc ba $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$  có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đặt $g\left(x\right)=\frac{x^2-x}{f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)}$ . Đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)$  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)\ne 0\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)\ne 0\\ f\left(x\right)\ne 2\end{array}\right.$ .

Ta có $f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0\\ f\left(x\right)=2\end{array}\right.$ .

Dựa vào đồ thị ta có $f\left(x\right)=0$  có hai nghiệm $x=x_1<0$  và $x=1$  (nghiệm kép).

                                $f\left(x\right)=2\iff \left[\begin{array}{l}x=x_2\in \left(x_1;-1\right)\\ x=0\\ x=x_3>1\end{array}\right.$ .

Vậy biểu thức $f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)=f\left(x\right)\left[f\left(x\right)-2\right]$

                                         $=a^2\left(x-x_1\right){\left(x-1\right)}^2.x\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$

Khi đó ta có $g\left(x\right)=\frac{x^2-x}{f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)}=\frac{1}{a^2\left(x-1\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}$.

Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận đứng.

Chọn A.