Cho hàm số bậc ba $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$  có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số $g\left(x\right)=\frac{\left(x^2-3x+2\right)\sqrt{x-1}}{x\left[f^2\left(x\right)-f\left(x\right)\right]}$  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\ne 0\\ f^2\left(x\right)-f\left(x\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ f\left(x\right)\ne 0\\ f\left(x\right)\ne 1\end{array}\right.$ .

Xét phương trình $f^2\left(x\right)-f\left(x\right)=0$$\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=0\left(1\right)\\ f\left(x\right)=1\left(2\right)\end{array}\right.$ .

Dựa vào đồ thị ta thấy

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x=x_1<1$  (loại) và  $x=2$ (nghiệm kép).

- Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt $x=1$ ,$x=x_2\in \left(1;2\right)$ , $x=x_3>2$ .

Khi đó

   $f^2\left(x\right)-f\left(x\right)=f\left(x\right)\left[f\left(x\right)-1\right]=a^2\left(x-x_1\right){\left(x-2\right)}^2\left(x-1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$  

Suy ra $g\left(x\right)=\frac{\sqrt{x-1}}{a^{2}x\left(x-x_1\right)\left(x-2\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}$ ,

trong đó $x_1<1$ ,$x_2\in \left(1;2\right)$ ,$x_3>2$ nên đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)$  có ba tiệm cận đứng là x=2 ; $x=x_2$  ;$x=x_3$ .

Chọn C.