Cho hai hàm số $f\left(x\right),g\left(x\right)$   đều có đạo hàm trên R và thỏa mãn $f^3\left(2-x\right)-2f^2\left(2+3x\right)+x^{2}g\left(x\right)+36x=0$ , với mọi $x\in ℝ$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  tại điểm có hoành độ x=2 là

Hướng dẫn giải

Ta có $f^3\left(2-x\right)-2f^2\left(2+3x\right)+x^{2}g\left(x\right)+36x=0,\forall x\in ℝ\left(1\right)$

Thay $x=0$  vào (1) ta có $f^3\left(2\right)-2f^2\left(2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}f\left(2\right)=0\\ f\left(2\right)=2\end{array}\right.$

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được

$-3f^2\left(2-x\right).f^{\text{'}}\left(2-x\right)-12f\left(2+3x\right).f^{\text{'}}\left(2+3x\right)+2x.g\left(x\right)+x^2.g^{\text{'}}\left(x\right)+36=0.\left(2\right)$

Thay x=0 vào (2) ta có $-3f^2\left(2\right).f^{\text{'}}\left(2\right)-12f\left(2\right).f^{\text{'}}\left(2\right)+36=0.\left(3\right)$

+ Với $f\left(2\right)=0$  thay vào (3) thì 36=0 (vô lý).

+ Với $f\left(2\right)=2$  thay vào (3) thì $f^{\text{'}}\left(2\right)=1$  nên phương trình tiếp tuyến là y=x.

Chọn D.