Cho $F\left(x\right)=x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right).e^{2x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f^{\text{'}}\left(x\right).e^{2x}$.

A. $\int f^{\text{'}}\left(x\right).e^{2x}dx=-2x^2+2x+C$

Đáp án A

$F\left(x\right)=x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right).e^{2x}\Rightarrow {\left(x^2\right)}^{\text{'}}=f\left(x\right).e^{2x}\iff 2x=f\left(x\right).e^{2x}$

Ta có:

$\int f^{\text{'}}\left(x\right).e^{2x}dx=\int e^{2x}d\left(f\left(x\right)\right)=e^{2x}f\left(x\right)-\int f\left(x\right)d\left(e^{2x}\right)$

$=e^{2x}f\left(x\right)-2\int f\left(x\right)e^{2x}dx=2x-2x^2+C$