Cho đường thẳng \(d:y = \left( {m - \frac{1}{2}} \right)x + 2m - 2\) với \(m \ne \frac{1}{2}\). Tìm giá trị của m để:

a) Đường thẳng d song song với đường thẳng \({d_1}:y = \frac{1}{2}mx - 2\) với m ≠ 0;

b) Đường thẳng d trùng với đường thẳng \({d_2}:y = x - \frac{2}{3}m + 2\);

c) Đường thẳng d và đường thẳng \({d_3}:y = \sqrt 2 x - m + 2\) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục Oy.

Lời giải

a) Để d song song với d₁ thì \(m - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}m\) và \(2m - 2 \ne - 2\).

Suy ra \(\frac{1}{2}m = \frac{1}{2}\) và \(2m \ne 0\)

Do đó m = 1 và m ≠ 0. Vì vậy m = 1.

Dễ thấy với m = 1 ta có d và d₁ trở thành \(d:y = \frac{1}{2}x\) và \({d_1}:y = \frac{1}{2}x - 2\). Khi đó, d song song với d₁.

b)  Để đường thẳng d trùng với đường thẳng \({d_2}:y = x - \frac{2}{3}m + 2\) thì \[m - \frac{1}{2} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\] và \[2m - 2 = - \frac{2}{3}m + 2\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) ta có \(m = \frac{3}{2}\)   (3);

Từ (2) ta có \(\frac{8}{3}m = 4\), do dó \(m = 4:\frac{8}{3} = \frac{3}{2}\)   (4).

Từ (3) và (4) ta được \(m = \frac{3}{2}\).

c) Với x = 0 thay vào \(d:y = \left( {m - \frac{1}{2}} \right)x + 2m - 2\) ta có: y = 2m – 2. Do đó đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm A(0; 2m ‒ 2).

Với x – 0 thay vào \({d_3}:y = \sqrt 2 x - m + 2\) ta có y = –m + 2. Do đó đường thẳng d₃ cắt trục Oy tại điểm B(0; ‒m + 2).

Để hai đường thẳng d và d₃ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục Oy thì \(m - \frac{1}{2} \ne \sqrt 2 \,\,\,\left( * \right)\) và điểm A trùng điểm B (**)

Từ (*) ta có \(m \ne \sqrt 2 + \frac{1}{2}\);

Từ (**) ta có 2m ‒ 2 = ‒m + 2, do đó 3m = 4. Suy ra \(m = \frac{4}{3}\) (thỏa mãn).

Dễ thấy với \(m = \frac{4}{3}\) ta có d và d₃ trở thành \(d:y = \frac{5}{6}x + \frac{2}{3}\) và \({d_3}:y = \sqrt 2 x + \frac{2}{3}\). Khi đó, d và d₃ cắt nhau tại điểm \(\left( {0;\frac{2}{3}} \right)\) nằm trên trục Oy.