Cho đường thẳng $d:y = \left( {m - \frac{1}{2}} \right)x + 2m - 2$ với $m \ne \frac{1}{2}$. Tìm giá trị của m để:

a) Đường thẳng d song song với đường thẳng ${d_1}:y = \frac{1}{2}mx - 2$ với m ≠ 0;

b) Đường thẳng d trùng với đường thẳng ${d_2}:y = x - \frac{2}{3}m + 2$;

c) Đường thẳng d và đường thẳng ${d_3}:y = \sqrt 2 x - m + 2$ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục Oy.

Lời giải

a) Để d song song với d₁ thì $m - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}m$ và $2m - 2 \ne - 2$.

Suy ra $\frac{1}{2}m = \frac{1}{2}$ và $2m \ne 0$

Do đó m = 1 và m ≠ 0. Vì vậy m = 1.

Dễ thấy với m = 1 ta có d và d₁ trở thành $d:y = \frac{1}{2}x$ và ${d_1}:y = \frac{1}{2}x - 2$. Khi đó, d song song với d₁.

b)  Để đường thẳng d trùng với đường thẳng ${d_2}:y = x - \frac{2}{3}m + 2$ thì $m - \frac{1}{2} = 1\,\,\,\left( 1 \right)$ và $2m - 2 = - \frac{2}{3}m + 2\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) ta có $m = \frac{3}{2}$   (3);

Từ (2) ta có $\frac{8}{3}m = 4$, do dó $m = 4:\frac{8}{3} = \frac{3}{2}$   (4).

Từ (3) và (4) ta được $m = \frac{3}{2}$.

c) Với x = 0 thay vào $d:y = \left( {m - \frac{1}{2}} \right)x + 2m - 2$ ta có: y = 2m – 2. Do đó đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm A(0; 2m ‒ 2).

Với x – 0 thay vào ${d_3}:y = \sqrt 2 x - m + 2$ ta có y = –m + 2. Do đó đường thẳng d₃ cắt trục Oy tại điểm B(0; ‒m + 2).

Để hai đường thẳng d và d₃ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục Oy thì $m - \frac{1}{2} \ne \sqrt 2 \,\,\,\left( * \right)$ và điểm A trùng điểm B (**)

Từ (*) ta có $m \ne \sqrt 2 + \frac{1}{2}$;

Từ (**) ta có 2m ‒ 2 = ‒m + 2, do đó 3m = 4. Suy ra $m = \frac{4}{3}$ (thỏa mãn).

Dễ thấy với $m = \frac{4}{3}$ ta có d và d₃ trở thành $d:y = \frac{5}{6}x + \frac{2}{3}$ và ${d_3}:y = \sqrt 2 x + \frac{2}{3}$. Khi đó, d và d₃ cắt nhau tại điểm $\left( {0;\frac{2}{3}} \right)$ nằm trên trục Oy.