Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:y = \frac{{1 - 3x}}{4}\) và \({d_2}:y = - \left( {\frac{x}{3} + 1} \right)\) là:

A. (0; ‒1).

B. \(\left( { - \frac{7}{3};2} \right)\).

C. \(\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\).

D. (3; ‒2).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Cách 1:

Giả sử điểm A(x₀; y₀) là giao điểm của d₁ và d₂.

Do A(x₀; y₀) thuộc d₁ nên ta có \[{y_0} = \frac{{1 - 3{x_0}}}{4}\,\,\,\left( 1 \right)\]

Do A(x₀; y₀) thuộc d₂ nên ta có \({y_0} = - \left( {\frac{{{x_0}}}{3} + 1} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\[\frac{{1 - 3{x_0}}}{4} =  - \left( {\frac{{{x_0}}}{3} + 1} \right)\]

Suy ra \[\frac{1}{4} - \frac{3}{4}{x_0} = - \frac{{{x_0}}}{3} - 1\]

Do đó \[ - \frac{3}{4}{x_0} + \frac{{{x_0}}}{3} = - 1 - \frac{1}{4}\]

Hay \[\frac{{ - 5}}{{12}}{x_0} = \frac{{ - 5}}{4}\]

Suy ra: x₀ = 3

Thay x₀ = 3 vào (1) ta có: \[{y_0} = \frac{{1 - 3.3}}{4} = \frac{{ - 8}}{4} = - 2\]

Vậy toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là: A(3; ‒2).

Cách 2:

• Xét điểm (0; ‒1)

Với x = 0, thay vào \(y = \frac{{1 - 3x}}{4}\) ta được \(y = \frac{1}{4}\), nên đường thẳng d₁ không đi qua điểm (0; ‒1). Do đó phương án A là sai.

• Xét điểm \(\left( { - \frac{7}{3};2} \right)\)

Với \(x = - \frac{7}{3}\), thay vào \(y = \frac{{1 - 3x}}{4}\) ta được \(y = \frac{{1 - 3.\left( { - \frac{7}{3}} \right)}}{4} = \frac{{1 + 7}}{4} = \frac{8}{4} = 2\), nên đường thẳng d₁ đi qua điểm \(\left( { - \frac{7}{3};2} \right)\).

Với \(x = - \frac{7}{3}\), thay vào \(y = - \left( {\frac{x}{3} + 1} \right)\) ta được \(y = - \left( {\frac{{ - \frac{7}{3}}}{3} + 1} \right) = - \left( { - \frac{7}{9} + 1} \right) = - \frac{2}{9}\), nên đường thẳng d₂ không đi qua điểm \(\left( { - \frac{7}{3};2} \right)\).

Do đó phương án B là sai.

• Xét điểm \(\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\)

Với x = 0, thay vào \(y = \frac{{1 - 3x}}{4}\) ta được \(y = \frac{1}{4}\), nên đường thẳng d₁ đi qua điểm \(\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\).

Với x = 0, thay vào \(y = - \left( {\frac{x}{3} + 1} \right)\) ta được y = –1, nên đường thẳng d₂ không đi qua điểm \(\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\).

Do đó phương án C là sai.

• Xét điểm (3; ‒2)

Với x = 3, thay vào \(y = \frac{{1 - 3x}}{4}\) ta được \(y = \frac{{1 - 3.3}}{4} = \frac{{1 - 9}}{4} = \frac{{ - 8}}{4} = - 2\), nên đường thẳng d₁ đi qua điểm (3; ‒2).

Với x = 3, thay vào \(y = - \left( {\frac{x}{3} + 1} \right)\) ta được \(y = - \left( {\frac{3}{3} + 1} \right) = - 2\), nên đường thẳng d₂ đi qua điểm (3; ‒2).

Do đó phương án D là đúng.