Cho cos 2x = $- \frac{4}{5}$ với $\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}$.

Tính sin x, cos x, $\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$, $\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)$.

Lời giải

Vì $\frac{\pi }{4}$ < x < $\frac{\pi }{2}$ nên sin x > 0, cos x > 0. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có

${\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{1 - \left( { - \frac{4}{5}} \right)}}{2} = \frac{9}{{10}}$ ⇒ sin x = $\frac{3}{{\sqrt {10} }}$.

${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{{1 + \left( { - \frac{4}{5}} \right)}}{2} = \frac{1}{{10}}$ ⇒ cos x = $\frac{1}{{\sqrt {10} }}$.

Theo công thức nhân đôi, ta có sin 2x = 2 sin x cos x = $2.\frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

Theo công thức cộng, ta có

$\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}$.

$\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos 2x\cos \frac{\pi }{4} + \sin 2x\sin \frac{\pi }{4} = \left( { - \frac{4}{5}} \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{3}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.