Cho cấp số cộng (un) có các số hạng đều dương, số hạng đầu u1 = 1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14 950. Tính giá trị của tổng  

$S=\frac{1}{u_2\sqrt{u_1}+u_1\sqrt{u_2}}+\frac{1}{u_3\sqrt{u_2}+u_2\sqrt{u_3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{u_{2018}\sqrt{u_{2017}}+u_{2017}\sqrt{u_{2018}}}$

Gọi d là công sai của (un), theo giả thiết ta có: $S_{100}=\frac{1}{2}\mathrm{.100.}(2u_1+99d)=14950\Rightarrow d=3.$ 

Ta có: $3=d=u_2-u_1=u_3-u_2=\mathrm{...}=u_{k+1}-u_k=\mathrm{...}=u_{2018}-u_{2017}.$ 

Từ đó suy ra với mọi số nguyên dương k:

$\frac{1}{u_{k+1}\sqrt{u_k}+u_k\sqrt{u_{k+1}}}=\frac{1}{\sqrt{u_k{u}_{k+1}}\left(\sqrt{u_{k+1}}+\sqrt{u_k}\right)}=\frac{\sqrt{u_{k+1}}-\sqrt{u_k}}{\sqrt{u_k{u}_{k+1}}\left(u_{k+1}-u_k\right)}=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{\sqrt{u_k}}-\frac{1}{\sqrt{u_{k+1}}}\right).$ 

Áp dụng hệ thức trên nhiều lần, ta được:

$S=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_2}}+\frac{1}{\sqrt{u_2}}-\frac{1}{\sqrt{u_3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{u_{2017}}}-\frac{1}{\sqrt{u_{2018}}}\right)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{u_{2018}}}\right)$ 

Với $u_{2018}=u_1+2017d=6052\Rightarrow S=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{6052}}\right).$ 

Chọn A.